Théorème central limite :
- \((X_n)_{n\in\Bbb N}\) est une suite de v.a.i.i.d
- \(\forall n\in{\Bbb N},X_n\in L^2\)
$$\Huge\iff$$
- $$\begin{align}\frac1{\sqrt n}\Big(X_1+\dots+X_n-n{\Bbb E}[X_1]\Big)&\underset{n\to+\infty}\overset{(\text{loi})}\longrightarrow\mathcal N(0,\sigma^2)\quad\text{ avec }\quad\sigma^2=\operatorname{Var}(X_1)\\ \sqrt n\Big(\overline{X_n}-{\Bbb E}[X_1]\Big)&\underset{n\to+\infty}\overset{(\text{loi})}\longrightarrow\mathcal N(0,\operatorname{Var}(X_1))\end{align}$$
- de manière équivalente, \(\forall-\infty\leqslant a\lt b\leqslant+\infty\), $${\Bbb P}\Big(X_1+\dots+X_n\in\Big[n{\Bbb E}[X_1]+a\sqrt n,n{\Bbb E}[X_1]+b\sqrt n\Big]\Big){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\int^b_a\frac1{\sigma\sqrt{2\pi} }e^{-x^2/2\sigma^2}\,dx$$
Cas vectoriel
Théorème central limite vectoriel :
- \((X_n)_{n\in\Bbb N}\) est une suite de v.a.i.i.d dans \({\Bbb R}^d\)
- on a \({\Bbb E}[\lvert X_1\rvert^2]\lt +\infty\)
$$\Huge\iff$$
- $$\sqrt n\Big(\overline{X_n}-{\Bbb E}[X_1]\Big)\underset{n\to+\infty}\overset{(\text{loi})}\longrightarrow\mathcal N_d(0,K_{X_1})$$
En traitement d'images
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Interpréter le théorème central limite en termes de traitement d'images.
Verso: Itérer la
Convolution avec un noyau régularisant est asymptotiquement équivalent à la convolution avec une
Gaussienne.
Bonus:
Carte inversée ?:
END
Théorème central limite (version traitement d'images) :
- \(g\) est positive et laplacien-consistante
- $$g_h:\mathbf x\mapsto\frac1{h^{N/2} }g(\frac{\mathbf x}{h^{1/2} })$$
$$\Huge\iff$$
- $$g_h^{*n}*u_0(\mathbf x)\overset{\text{unif} }{\underset{nh\to t}{\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} } } u(t,\mathbf x)$$avec \(u(t,\cdot)=G_t*u_0\) la solution de l'Equation de la chaleur
